2.8 Desigualdades
A diferencia de las ecuaciones, aquí no buscamos un valor exacto, sino un conjunto de valores que cumplen la condición.
Una desigualdad compara dos expresiones y nos dice si una es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que la otra.
Se usan símbolos como:
\[ <,\ >,\ \le,\ \ge \]
Ejemplos: \(x>3\), \(2x-1\le7\), \(x^2-4x+3\ge0\).
La solución de una desigualdad no suele ser un solo número, sino un conjunto de números.
Aquí conviene mirar la idea de dos formas: en la recta numérica, donde marcamos los valores de \(x\), y en una gráfica, donde vemos cuándo una expresión queda arriba o abajo de otra.
Esto significa que buscamos todos los números mayores que \(2\).
En la recta numérica se representa con:
1. Un círculo abierto en \(2\), porque \(2\) no está incluido.
2. Una flecha hacia la derecha, porque buscamos números mayores.
Aquí sí se incluye el valor \(-1\), así que se usa un círculo cerrado.
La flecha va hacia la izquierda porque buscamos números menores o iguales.
Si resolvemos \(2x+3>7\), obtenemos \(x>2\). En la gráfica comparamos la recta \(y=2x+3\) con la recta horizontal \(y=7\).
La solución aparece donde la recta \(y=2x+3\) queda por arriba de \(y=7\), y eso ocurre a la derecha de \(x=2\).
Observa que en \(x=2\) ambas rectas se cruzan. Antes de ese punto, la verde está abajo; después de ese punto, la verde está arriba. Por eso la solución es \(x>2\).
Esta regla no aparece por capricho. Cambia porque al multiplicar por un número negativo, el orden de los números sobre la recta numérica se invierte.
Sabemos que \(2>1\), porque \(2\) está a la derecha de \(1\) en la recta numérica.
Si multiplicamos ambos lados por \(-1\), obtenemos:
\[ 2>1 \]
\[ (-1)(2)\ ?\ (-1)(1) \]
\[ -2\ ?\ -1 \]
Pero en la recta numérica, \(-2\) está a la izquierda de \(-1\). Eso significa que \(-2<-1\). Por eso el signo tiene que cambiar:
\[ 2>1 \quad \Longrightarrow \quad -2<-1 \]
Si tenemos:
\[ x>3 \]
y multiplicamos ambos lados por \(-1\), no podemos dejar el mismo signo, porque daría:
\[ -x>-3 \]
Eso sería falso para un valor como \(x=4\), ya que:
\[ 4>3 \]
pero
\[ -4>-3 \]
no es cierto. La forma correcta es:
\[ x>3 \quad \Longrightarrow \quad -x<-3 \]
Multiplicar por \(-1\) refleja los valores respecto de \(0\). Los positivos pasan al lado negativo y los negativos pasan al lado positivo.
Por eso, el número que antes estaba más a la derecha después aparece más a la izquierda.
La recta \(y=x\) conserva el valor. La recta \(y=-x\) lo manda al lado opuesto del cero. Así, si un número era mayor, después de multiplicar por \(-1\) se vuelve menor.
Se resuelve de forma parecida a una ecuación, pero con una regla extra muy importante.
Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir en ambos lados.
Pero, si multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido.
\[ 2x+3>7 \]
Paso 1: restamos \(3\) en ambos lados:
\[ 2x>4 \]
Paso 2: dividimos entre \(2\):
\[ x>2 \]
\[ -2x>6 \]
Paso 1: dividimos entre \(-2\).
Atención: como estamos dividiendo entre un número negativo, el signo cambia.
\[ x<-3 \]
\[ \frac{x}{3}+\frac{1}{2}\ge \frac{7}{2} \]
Paso 1: restamos \( \frac{1}{2} \) en ambos lados:
\[ \frac{x}{3}\ge3 \]
Paso 2: multiplicamos por \(3\):
\[ x\ge9 \]
\[ -x+4\le1 \]
Paso 1: restamos \(4\):
\[ -x\le-3 \]
Paso 2: multiplicamos por \(-1\), así que cambiamos el signo:
\[ x\ge3 \]
\[ 3(x-2)+1<10 \]
Paso 1: desarrollamos:
\[ 3x-6+1<10 \]
\[ 3x-5<10 \]
Paso 2: sumamos \(5\):
\[ 3x<15 \]
Paso 3: dividimos entre \(3\):
\[ x<5 \]
\[ -\frac{2x}{5}+1>\frac{1}{5} \]
Paso 1: restamos \(1\):
\[ -\frac{2x}{5}>-\frac{4}{5} \]
Paso 2: multiplicamos por \(5\):
\[ -2x>-4 \]
Paso 3: dividimos entre \(-2\), así que el signo cambia:
\[ x<2 \]
En las desigualdades cuadráticas no basta con despejar. Primero localizamos los puntos donde la expresión vale cero y luego analizamos en qué intervalos la expresión es positiva o negativa.
\[ x^2-5x+6>0 \]
Paso 1: factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)>0 \]
Paso 2: encontramos los puntos críticos: \(x=2\) y \(x=3\).
Paso 3: analizamos intervalos:
\[ (-\infty,2),\ (2,3),\ (3,\infty) \]
Paso 4: probamos un valor en cada intervalo para saber si el producto es positivo o negativo.
La idea es esta: en cada intervalo, cada factor conserva su signo.
Por ejemplo, en todo número menor que \(2\), tanto \(x-2\) como \(x-3\) son negativos. Si multiplicamos negativo por negativo, el resultado es positivo.
Tomamos un valor de prueba sencillo, como \(x=0\):
\[ (0-2)(0-3)=(-2)(-3)=+ \]
Ahora probamos un número entre \(2\) y \(3\), por ejemplo \(x=\frac{5}{2}\):
\[ \left(\frac{5}{2}-2\right)\left(\frac{5}{2}-3\right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=- \]
Aquí un factor es positivo y el otro negativo, así que el producto sale negativo.
Por último, en un número mayor que \(3\), como \(x=4\):
\[ (4-2)(4-3)=(2)(1)=+ \]
Ahora ambos factores son positivos, así que el producto vuelve a ser positivo.
Solución: \(x<2\) o \(x>3\).
La parábola está arriba del eje \(x\) antes de \(2\) y después de \(3\), que es justo donde la desigualdad es verdadera.
\[ x^2-4x+3\le0 \]
Paso 1: factorizamos:
\[ (x-1)(x-3)\le0 \]
Paso 2: puntos críticos: \(1\) y \(3\).
Paso 3: entre \(1\) y \(3\) la expresión es negativa, y además como el signo es \(\le\), se incluyen los extremos.
Solución: \[ 1 \le x \le 3 \]
Aquí buscamos donde la parábola está abajo del eje o tocándolo, por eso se toma el tramo entre \(1\) y \(3\), incluyendo los extremos.
\[ -x^2+4x-3>0 \]
Paso 1: factorizamos sacando \(-1\):
\[ -(x^2-4x+3)>0 \]
\[ -(x-1)(x-3)>0 \]
Paso 2: esto equivale a: \[ (x-1)(x-3)<0 \] porque multiplicar por \(-1\) cambia el sentido.
Solución: \[ 1 \lt x \lt 3 \]
Como la parábola abre hacia abajo, queda arriba del eje solamente entre \(1\) y \(3\).
\[ x^2-\frac{5}{2}x+1>0 \]
Paso 1: quitamos fracciones multiplicando por \(2\):
\[ 2x^2-5x+2>0 \]
Paso 2: factorizamos:
\[ (2x-1)(x-2)>0 \]
Paso 3: puntos críticos: \(x=\frac{1}{2}\) y \(x=2\).
Solución: \[ x \lt \frac{1}{2} \quad \text{o} \quad x \gt 2 \]
Las raíces ahora son \(\frac{1}{2}\) y \(2\). Como la parábola abre hacia arriba, la solución queda fuera del intervalo entre esas dos raíces.
Tomemos \(x^2-5x+6>0\). Primero factorizamos:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Eso nos dice que la parábola corta al eje \(x\) en \(x=2\) y \(x=3\). Como la desigualdad es mayor que cero, buscamos dónde la parábola está encima del eje.
La curva queda arriba del eje antes de \(2\) y después de \(3\). Entre \(2\) y \(3\) queda abajo. Por eso la solución es \(x<2\) o \(x>3\).
Si aparece \(-x\), recuerda que al multiplicar por \(-1\) el signo de la desigualdad cambia.
En cuadráticas, primero encuentra los puntos críticos y luego analiza signos por intervalos.
Si hay fracciones, muchas veces conviene quitarlas primero para ver mejor la estructura.
Muchos estudiantes resuelven la ecuación asociada y creen que esos puntos ya son toda la respuesta.
En desigualdades cuadráticas, esos puntos solo dividen la recta en intervalos. Después todavía hay que decidir en cuáles se cumple la desigualdad.