Resolver \(ax^2+bx+c=0\)

1. La razón geométrica: dos cruces con el eje

Cuando graficamos una ecuación de segundo grado, como \(y=x^2\), obtenemos una curva en forma de “U” llamada parábola.

Resolver la ecuación significa encontrar los puntos donde esa parábola cruza la línea horizontal del suelo, es decir, el eje \(X\).

Debido a su forma, lo más común es que la parábola cruce ese eje en dos puntos distintos: uno cuando va bajando y otro cuando va subiendo.

2. La razón algebraica: el secreto del signo

La forma general de estas ecuaciones es: \[ ax^2+bx+c=0 \]

Para resolverlas usamos la fórmula general: \[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

El truco está en el símbolo \(\pm\) que aparece antes de la raíz cuadrada.

Eso significa que debemos hacer dos cuentas: una con el signo \( + \) y otra con el signo \( - \).

Esto ocurre por una propiedad muy importante: un número positivo y uno negativo pueden dar el mismo resultado al elevarse al cuadrado.

Por ejemplo: \[ 3 \times 3 = 9 \] \[ (-3)\times(-3)=9 \]

Por eso, cuando aparece una raíz cuadrada en la resolución, se abren dos caminos: uno sumando y otro restando. De ahí nacen las dos soluciones.

Paso 1. Partimos de la forma general

Empezamos con: \[ ax^2+bx+c=0 \]

Aquí \(a\), \(b\) y \(c\) son números cualesquiera, con \(a\neq0\).

Paso 2. Despejar el término independiente

Pasamos la constante \(c\) al lado derecho restando:

\[ ax^2+bx=-c \]

Paso 3. Dejar la \(x^2\) sola

Dividimos toda la ecuación entre \(a\):

\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]

Paso 4. Completar el cuadrado

Este es el truco importante. Para convertir el lado izquierdo en un trinomio cuadrado perfecto, sumamos en ambos lados la mitad del coeficiente de \(x\), elevada al cuadrado:

\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]

Entonces queda:

\[ x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \]

Paso 5. Factorizar y simplificar

El lado izquierdo ahora se puede escribir como un binomio al cuadrado:

\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \]

En el lado derecho se usó denominador común \(4a^2\).

Paso 6. Sacar raíz cuadrada

Aplicamos raíz cuadrada en ambos lados:

\[ x+\frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \]

Como la raíz del denominador es \(2a\), simplificamos:

\[ x+\frac{b}{2a} = \frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Paso 7. Despeje final

Pasamos \(\frac{b}{2a}\) restando al otro lado:

\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Y así obtenemos la fórmula general.

Paso 1. Identificar \(a\), \(b\) y \(c\)

En \(x^2-5x+6=0\), tenemos:

\(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).

Paso 2. Sustituir en la fórmula

\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4(1)(6)}}{2(1)} \]

Paso 3. Resolver el discriminante

\[ (-5)^2-4(1)(6)=25-24=1 \]

Entonces la fórmula queda:

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]

Paso 4. Separar las dos respuestas

Primera respuesta con \( + \):

\[ x=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \]

Segunda respuesta con \( - \):

\[ x=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \]

Conclusión

Las soluciones son \(x=3\) y \(x=2\).

Ejemplo con una sola solución real

Resolver \(x^2-6x+9=0\).

\[ x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4(1)(9)}}{2} =\frac{6\pm\sqrt{36-36}}{2} =\frac{6\pm0}{2}=3 \]

Aquí sale una sola solución real, pero repetida: \(x=3\).

Ejemplo con fracciones

Resolver \(2x^2+7x+3=0\).

\[ x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(2)(3)}}{2(2)} =\frac{-7\pm\sqrt{49-24}}{4} =\frac{-7\pm5}{4} \]

Con \(+\): \(\frac{-7+5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\).

Con \(-\): \(\frac{-7-5}{4}=\frac{-12}{4}=-3\).

Soluciones: \(x=-\frac{1}{2}\) y \(x=-3\).

Ejemplo sin soluciones reales

Resolver \(x^2+4x+8=0\).

\[ b^2-4ac=4^2-4(1)(8)=16-32=-16 \]

Como el discriminante es negativo, no hay soluciones reales.