2.5 Ecuaciones de primer grado
Resolver una ecuación es encontrar el valor que hace verdadera la igualdad.
Una ecuación es una igualdad que contiene una incógnita. Se llama de primer grado cuando la incógnita aparece con exponente \(1\).
Ejemplos de ecuaciones de primer grado: \(3x+5=17\), \( \frac{x}{2}-4=7 \), \(5(x-1)=20\).
No son de primer grado: \(x^2+3=7\) o \( \sqrt{x}=4 \), porque ahí la incógnita ya no está en grado \(1\).
El método largo consiste en aplicar la misma operación en ambos lados de la igualdad hasta dejar sola a la incógnita.
Ecuación: \(3x+5=17\)
Paso 1: restamos \(5\) en ambos lados: \[ 3x+5-5=17-5 \] \[ 3x=12 \]
Paso 2: dividimos entre \(3\) en ambos lados: \[ \frac{3x}{3}=\frac{12}{3} \] \[ x=4 \]
Ecuación: \( \frac{x}{2}+3=8 \)
Paso 1: restamos \(3\) en ambos lados: \[ \frac{x}{2}=5 \]
Paso 2: multiplicamos por \(2\) en ambos lados: \[ 2\left(\frac{x}{2}\right)=2(5) \] \[ x=10 \]
Ecuación: \(5(x-1)=20\)
Paso 1: dividimos entre \(5\) en ambos lados: \[ x-1=4 \]
Paso 2: sumamos \(1\) en ambos lados: \[ x=5 \]
El método corto es un atajo de lenguaje. En vez de escribir la misma operación en ambos lados en cada paso, decimos cosas como “el \(+5\) pasa restando” o “el \(2\) pasa multiplicando”.
Pero esto no es magia: funciona porque en el fondo estamos aplicando la operación inversa en ambos lados.
Si un número está sumando, pasa restando.
Si está restando, pasa sumando.
Si está multiplicando, pasa dividiendo.
Si está dividiendo, pasa multiplicando.
\(3x+5=17\)
El \(+5\) pasa restando: \[ 3x=17-5=12 \]
El \(3\) pasa dividiendo: \[ x=\frac{12}{3}=4 \]
\(\frac{x}{4}-2=5\)
El \(-2\) pasa sumando: \[ \frac{x}{4}=7 \]
El \(4\) pasa multiplicando: \[ x=28 \]
\(-2x+3=11\)
El \(+3\) pasa restando: \[ -2x=8 \]
El \(-2\) pasa dividiendo: \[ x=\frac{8}{-2}=-4 \]
\[ \frac{x}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} \]
Restamos \( \frac{1}{2} \) en ambos lados: \[ \frac{x}{3}=3 \]
Multiplicamos por \(3\): \[ x=9 \]
\[ 4x^1-6=10 \]
Aunque aparezca escrito \(x^1\), sigue siendo una ecuación de primer grado porque el exponente es \(1\).
Sumamos \(6\): \[ 4x=16 \]
Dividimos entre \(4\): \[ x=4 \]
\[ 5x-2=2x+10 \]
Restamos \(2x\) en ambos lados: \[ 3x-2=10 \]
Sumamos \(2\): \[ 3x=12 \]
Dividimos entre \(3\): \[ x=4 \]
La suma se deshace con resta, la resta con suma, la multiplicación con división y la división con multiplicación.
Esta idea es la base tanto del método largo como del corto.
No cambiar el signo sin justificar o “mover” términos sin entender por qué.
El método corto solo funciona si recuerdas qué operación inversa estás aplicando realmente.
La incógnita casi nunca está sola desde el inicio. Normalmente tiene “capas” encima: primero una suma o resta, luego una multiplicación o división.
La idea es quitar esas capas en orden, desde la más externa hasta llegar a \(x\).
En \(3x+5\), la \(x\) no está siendo afectada primero por el \(3\), sino por toda la expresión \(3x\) y luego por el \(+5\).
Por eso, primero quitamos el \(+5\): \[ 3x+5=17 \quad \Rightarrow \quad 3x=12 \]
Y solo después quitamos el \(3\) que multiplica: \[ 3x=12 \quad \Rightarrow \quad x=4 \]
Porque el \(3\) no está multiplicando únicamente a \(x\) una vez que ves toda la igualdad; el término completo del lado izquierdo es \(3x+5\).
Si divides entre \(3\) desde el inicio, tendrías que dividir todo el lado izquierdo entre \(3\): \[ \frac{3x+5}{3}=\frac{17}{3} \]
Eso no deja a \(x\) sola; incluso complica más la expresión. Por eso conviene quitar primero el \(+5\).
Si a \(x\) le están sumando o restando, eso se quita antes.
Si a \(x\) la están multiplicando o dividiendo, eso se quita después.
En resumen: primero quita sumas y restas, luego quita multiplicaciones y divisiones.
En cada paso pregúntate: “¿la \(x\) quedó más sola o más acompañada?”
Si después de un paso la expresión se ve más enredada, probablemente quitaste una capa fuera de orden.
1. Observa qué está pegado a \(x\).
2. Quita primero lo que está sumando o restando afuera.
3. Quita después lo que multiplica o divide.
4. Revisa el resultado sustituyendo el valor obtenido en la ecuación original.