Casos principales
Factor común
Idea: sacar el factor que aparece en todos los términos.
Ejemplo: \(6x^2+9x=3x(2x+3)\).
Pista: antes de probar otro método, siempre revisa si hay algo que se pueda sacar en común.
Diferencia de cuadrados
Forma: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
Ejemplo: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\).
Pista: solo funciona si hay una resta entre dos cuadrados perfectos.
Suma o diferencia de cubos
Formas: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ejemplo de suma: \(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\).
Ejemplo de diferencia: \(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\).
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Idea: cuando aparece \(a^n-b^n\) con \(n\) impar, podemos sacar la factorización dividiendo esa expresión entre \(a-b\).
\[ a^n-b^n=(a-b)\left(\frac{a^n-b^n}{a-b}\right) \]
El cociente de esa división es el polinomio que completa la factorización.
\[ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \]
Ejemplo: \(x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)\).
Pista: el primer factor es \(a-b\), y el segundo sale de la división o del patrón descendente en potencias de \(a\) y ascendente en potencias de \(b\).
División paso a paso: si dividimos \(x^5-y^5\) entre \(x-y\), el cociente es el polinomio que completa la factorización.
| Paso | Qué se divide | Cociente parcial | Producto y resta |
|---|---|---|---|
| 1 | \(x^5 \div x\) | \(x^4\) | \((x-y)(x^4)=x^5-x^4y\), al restar queda \(x^4y-y^5\) |
| 2 | \(x^4y \div x\) | \(+x^3y\) | \((x-y)(x^3y)=x^4y-x^3y^2\), al restar queda \(x^3y^2-y^5\) |
| 3 | \(x^3y^2 \div x\) | \(+x^2y^2\) | \((x-y)(x^2y^2)=x^3y^2-x^2y^3\), al restar queda \(x^2y^3-y^5\) |
| 4 | \(x^2y^3 \div x\) | \(+xy^3\) | \((x-y)(xy^3)=x^2y^3-xy^4\), al restar queda \(xy^4-y^5\) |
| 5 | \(xy^4 \div x\) | \(+y^4\) | \((x-y)(y^4)=xy^4-y^5\), al restar queda residuo \(0\) |
Conclusión: como el residuo es \(0\), entonces \[ \frac{x^5-y^5}{x-y}=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4 \] y por eso \[ x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4). \]
Trinomio cuadrado perfecto
Forma: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
Ejemplo: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\).
Pista: el primer y el tercer término deben ser cuadrados perfectos, y el término del medio debe ser el doble del producto de sus raíces.
Trinomio \(x^2+bx+c\)
Idea: buscar dos números que sumen \(b\) y multipliquen \(c\).
Ejemplo: \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\).
Aquí, \(3+4=7\) y \(3\cdot4=12\).
Trinomio \(ax^2+bx+c\)
Idea: primero se considera el producto \(a\cdot c\) y luego se reagrupa.
Ejemplo: \(2x^2+7x+3\).
Buscamos dos números que multipliquen \(2\cdot3=6\) y sumen \(7\): \(6\) y \(1\).
Entonces: \[ 2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3 \] \[ =2x(x+3)+1(x+3)=(2x+1)(x+3) \]