Operaciones algebraicas

Leyes de los signos

En suma y resta

Cuando dos números tienen el mismo signo, se suman y se conserva el signo.

Ejemplos: \(+3 + +5 = +8\) y \(-4 + -2 = -6\).

Cuando tienen distinto signo, se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.

Ejemplos: \(+7 + (-3) = +4\) y \(-9 + 4 = -5\).

En multiplicación y división

Signos iguales dan resultado positivo. Signos diferentes dan resultado negativo.

Ejemplos: \( (+)(+) = + \), \( (-)(-) = + \), \( (+)(-) = - \), \( (-)(+) = - \).

Lo mismo se usa en división: \( \frac{+}{+}=+ \), \( \frac{-}{-}=+ \), \( \frac{+}{-}=- \), \( \frac{-}{+}=- \).

Por qué importan en álgebra

En expresiones algebraicas, el error más frecuente no está en la letra, sino en el signo. Antes de combinar términos, conviene decidir si se está sumando, restando, multiplicando o dividiendo.

Reducción de términos semejantes

Solo se suman o restan los coeficientes de términos semejantes.

Ejemplo: \(3x + 5x - 2x = 6x\).

Por qué: estamos contando la misma clase de objeto algebraico, en este caso \(x\).

Ejemplo con enteros

\(4y^2\) \(-9y^2\) \(+2y^2\) \(= -3y^2\).

Todos los términos tienen la misma parte literal \(y^2\), así que solo se operan los coeficientes: \(4-9+2=-3\).

Ejemplo con fracciones

\(\frac{3}{4}x\) \(+\) \(\frac{1}{2}x\) \(=\) \(\frac{3}{4}x\) \(+\) \(\frac{2}{4}x\) \(=\frac{5}{4}x\).

Primero se expresa todo con el mismo denominador y luego se suman los coeficientes, porque la parte literal sigue siendo \(x\).

Ejemplo con resta y fracciones

\(\frac{7}{6}a^3\) \(-\) \(\frac{1}{3}a^3\) \(=\) \(\frac{7}{6}a^3\) \(-\) \(\frac{2}{6}a^3\) \(=\frac{5}{6}a^3\).

Como ambos términos contienen \(a^3\), sí son semejantes. Solo cambia el coeficiente.

Ejemplo con potencias diferentes

\(5x^2\) \(+\) \(3x^3\) \(-\) \(2x^2\) \(=3x^2+3x^3\).

\(5x^2\) y \(-2x^2\) sí se combinan porque ambos tienen \(x^2\). El término \(3x^3\) no se combina con ellos porque su exponente es distinto.

Ejemplo con variables distintas

\(6mn\) \(-\) \(4mn\) \(+\) \(2m\) \(=2mn+2m\).

Los términos \(6mn\) y \(-4mn\) sí son semejantes. El término \(2m\) no lo es, porque no tiene la variable \(n\).

Suma y resta de polinomios

Procedimiento

1. Quitar paréntesis con cuidado de los signos.

2. Reunir términos semejantes.

3. Operar coeficientes.

Ejemplo

(\(2x^2\) + \(3x\) \(-1\)) + (\(x^2\) \(-5x\) + \(4\)) \(=3x^2-2x+3\).

Aquí, \(3x + (-5x)\) \(= -2x\), porque tienen signos diferentes: se restan \(5-3=2\) y se conserva el signo negativo.

Ejemplo con resta de polinomios

(\(4a^2\) \(-3a\) + \(7\)) - (\(2a^2\) + \(a\) \(-5\)) \(=\) \(4a^2\) \(-3a\) + \(7\) \(-2a^2\) \(-a\) + \(5\) \(=2a^2-4a+12\).

Al quitar el segundo paréntesis, cambian los signos de todos sus términos.

Ejemplo con fracciones

(\(\frac{1}{2}x^2\) + \(\frac{3}{4}x\)) + (\(\frac{1}{4}x^2\) \(-\frac{1}{2}x\)) \(=\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}x\).

Se suman los términos semejantes: \(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^2=\frac{3}{4}x^2\) y \(\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x\).

Ejemplo con grados diferentes

(\(x^3\) + \(2x^2\) \(-x\) + \(1\)) + (\(3x^3\) \(-x^2\) + \(4\)) \(=4x^3+x^2-x+5\).

Se agrupan por grado: cúbicos con cúbicos, cuadrados con cuadrados, lineales con lineales y constantes con constantes.

Ejemplo donde faltan términos

(\(5x^2\) + \(0x\) + \(2\)) - (\(x^2\) \(-3x\) + \(8\)) \(=\) \(5x^2\) + \(0x\) + \(2\) \(-x^2\) + \(3x\) \(-8\) \(=4x^2+3x-6\).

A veces conviene imaginar el término faltante, como \(0x\), para ordenar mejor la operación.

Multiplicación de polinomios

Se usa la propiedad distributiva: cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo.

Ejemplo: \((x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6\).

Si aparecen signos negativos, aplicamos la ley de signos en cada producto. Por ejemplo, \((x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6\).

Ejemplo 1. Monomio por polinomio

\(3x\) \((\) \(2x^2\) \(-x\) \( + 4\) \()\) \(=\) \(3x\)\( \cdot 2x^2\) \( + 3x\)\( \cdot (-x)\) \( + 3x\)\( \cdot 4\)

\(=6x^3-3x^2+12x\).

Ejemplo 2. Binomio por binomio

\((\)\(x\)\( + 5\)\()(\)\(x\)\(-2\)\()\)

\(=\) \(x \cdot x\) \( + x \cdot (-2)\) \( + 5 \cdot x\) \( + 5 \cdot (-2)\) \(=x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10\).

Ejemplo 3. Binomio por trinomio

\((x+1)(x^2+2x+3)\) \(=x(x^2+2x+3)+1(x^2+2x+3)\)

\(=\) \(x^3+2x^2+3x\) \(+\) \(x^2+2x+3\) \(=x^3+3x^2+5x+3\).

Ejemplo 4. Signos negativos

\((2x-3)(x-4)\) \(=2x^2-8x-3x+12\) \(=2x^2-11x+12\).

Los productos \((+)(-)\) y \((-)(+)\) son negativos; \((-)(-)\) es positivo.

División de monomios

Se dividen coeficientes y se restan exponentes de la misma variable.

Ejemplo: \( \frac{12}{3} \)\(x^{5-2}\)\(=4x^3 \).

Si los signos son distintos, el resultado es negativo. Por ejemplo, \( \frac{-12}{3} \)\(x^{5-2}\)\(=-4x^3 \).

Ejemplo 1. Con una variable

\( \frac{18}{6} \)\(x^{7-3}\)\(=3x^4 \).

Ejemplo 2. Con dos variables

\( \frac{20}{4} \)\(a^{5-2}\)\(b^{3-1}\)\(=5a^3b^2 \).

Ejemplo 3. Con signo negativo

\( \frac{-15}{5} \)\(m^{4-2}n^{2-1}\)\(=-3m^2n \).

Qué mirar con color

Coeficientes: se dividen. Exponentes de la misma letra: se restan. Signos: siguen la ley de signos.

División de polinomios

Se parece a la división aritmética: se divide el primer término, se multiplica y se resta.

Ejemplo base: \( \frac{x^2+5x+6}{x+2}=x+3 \).

Ejemplo 1. Paso a paso

\( \frac{x^2+5x+6}{x+2} \)

Paso 1: dividimos el primer término: \(x^2\) \( \div \) \(x\) \(= x\). Ese \(x\) va en el cociente.

Paso 2: multiplicamos: \(x\)\((x+2)=\)\(x^2+2x\).

Paso 3: restamos: \((x^2+5x+6)\)\(-\)\((x^2+2x)\)\(=3x+6\).

Paso 4: dividimos otra vez: \(3x\) \( \div \) \(x\)\(=3\).

Paso 5: multiplicamos y restamos: \(3(x+2)=3x+6\), residuo \(0\).

Resultado: cociente \(x+3\).

Ejemplo 2. Con residuo

\( \frac{x^2+4x+5}{x+2} \)

\(x^2\) \( \div \) \(x\)\(=x\), luego multiplicamos \(x(x+2)=x^2+2x\) y restamos: \(2x+5\).

Después \(2x\) \( \div \) \(x\)\(=2\), multiplicamos \(2(x+2)=2x+4\) y restamos: residuo \(1\).

Resultado: cociente \(x+2\), residuo \(1\).

Expresión completa: \[ \frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2} \]

Cuando hay residuo, el resultado completo se escribe como: cociente + residuo entre divisor.

Ejemplo 3. Falta un término

\( \frac{x^3+0x^2-4x+4}{x-2} \)

El término \(0x^2\) se escribe para no perder el orden de grados.

División sintética

Es una versión abreviada de la división de polinomios cuando el divisor tiene la forma \(x-a\).

¿Cuándo se puede usar?

Se usa cuando el divisor es lineal y tiene la forma \(x-a\).

Ejemplo: si el divisor es \(x+2\), primero lo reescribimos como \(x-(-2)\). Por eso, en la división sintética se usa el número \(-2\).

Paso 1. Escribir solo los coeficientes

Si vamos a dividir \(x^2+5x+6\) entre \(x+2\), escribimos los coeficientes del polinomio:

\(1,\ 5,\ 6\)

Y a la izquierda colocamos el número que viene de \(x-(-2)\), es decir, \(-2\).

Paso 2. Bajar el primer coeficiente

El primer coeficiente siempre baja igual.

Tabla mental: baja el \(1\).

Paso 3. Multiplicar

Multiplicamos el número de la izquierda por el número que acaba de bajar.

\(-2\) \(\cdot\) \(1\) \(=\) \(-2\).

Ese resultado se coloca debajo del siguiente coeficiente.

Paso 4. Sumar

Ahora sumamos en vertical:

\(5\) \(+\) \(-2\) \(=\) \(3\).

Ese \(3\) pasa a la fila de abajo.

Paso 5. Repetir multiplicación y suma

Multiplicamos otra vez:

\(-2\) \(\cdot\) \(3\) \(=\) \(-6\).

Colocamos ese resultado debajo del \(6\) y sumamos:

\(6\) \(+\) \(-6\) \(=\) \(0\).

Tabla de división sintética

Así se ve el procedimiento completo al dividir \(x^2+5x+6\) entre \(x+2\):

\(-2\)	\(1\)	\(5\)	\(6\)
		\(-2\)	\(-6\)
	\(1\)	\(3\)	\(0\)

Fila superior: coeficientes del dividendo. Fila intermedia: productos. Fila inferior: resultados acumulados.

Paso 6. Interpretar el resultado

Los números que quedaron abajo son \(1,\ 3,\ 0\).

El último número es el residuo: \(0\).

Los anteriores forman el cociente: \(x+3\).

Conclusión: \( \frac{x^2+5x+6}{x+2}=x+3 \).

¿Cómo se leen los números del cociente?

Si el polinomio original era de grado \(2\), entonces el cociente será de grado \(1\).

Por eso, los números \(1\) y \(3\) se leen como \(1x+3\), es decir, \(x+3\).

Ejemplo con residuo

Si al final no sale \(0\), ese último número es el residuo.

Por ejemplo, si el resultado final fuera \(1,\ 2,\ 1\), el cociente sería \(x+2\) y el residuo sería \(1\).

Entonces la expresión completa se escribiría como:

\[ \frac{\text{dividendo}}{\text{divisor}}=\text{cociente}+\frac{\text{residuo}}{\text{divisor}} \]