Operaciones algebraicas

Leyes de los signos

En suma y resta

Cuando dos números tienen el mismo signo, se suman y se conserva el signo.

Ejemplos: \(+3 + +5 = +8\) y \(-4 + -2 = -6\).

Cuando tienen distinto signo, se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.

Ejemplos: \(+7 + (-3) = +4\) y \(-9 + 4 = -5\).

En multiplicación y división

Signos iguales dan resultado positivo. Signos diferentes dan resultado negativo.

Ejemplos: \( (+)(+) = + \), \( (-)(-) = + \), \( (+)(-) = - \), \( (-)(+) = - \).

Lo mismo se usa en división: \( \frac{+}{+}=+ \), \( \frac{-}{-}=+ \), \( \frac{+}{-}=- \), \( \frac{-}{+}=- \).

Por qué importan en álgebra

En expresiones algebraicas, el error más frecuente no está en la letra, sino en el signo. Antes de combinar términos, conviene decidir si se está sumando, restando, multiplicando o dividiendo.

Reducción de términos semejantes

Solo se suman o restan los coeficientes de términos semejantes.

Ejemplo: \(3x + 5x - 2x = 6x\).

Por qué: estamos contando la misma clase de objeto algebraico, en este caso \(x\).

Suma y resta de polinomios

Procedimiento

1. Quitar paréntesis con cuidado de los signos.

2. Reunir términos semejantes.

3. Operar coeficientes.

Ejemplo

\((2x^2+3x-1)+(x^2-5x+4)=3x^2-2x+3\).

Aquí, \(3x + (-5x) = -2x\), porque tienen signos diferentes: se restan \(5-3=2\) y se conserva el signo negativo.

Multiplicación de polinomios

Se usa la propiedad distributiva: cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo.

Ejemplo: \((x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6\).

Si aparecen signos negativos, aplicamos la ley de signos en cada producto. Por ejemplo, \((x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6\).

División de monomios

Se dividen coeficientes y se restan exponentes de la misma variable.

Ejemplo: \( \frac{12x^5}{3x^2}=4x^3 \).

Si los signos son distintos, el resultado es negativo. Por ejemplo, \( \frac{-12x^5}{3x^2}=-4x^3 \).

División de polinomios

Se parece a la división aritmética: se divide el primer término, se multiplica y se resta.

Ejemplo base: \( \frac{x^2+5x+6}{x+2}=x+3 \).

División sintética

Es una versión abreviada de la división de polinomios cuando el divisor tiene la forma \(x-a\).

Idea: trabajamos solo con los coeficientes, bajando el primero, multiplicando y sumando.

Ejemplo: dividir \(x^2+5x+6\) entre \(x+2=x-(-2)\) usa el valor \(-2\).