2.3 Productos notables
Estos productos aparecen tan seguido que vale la pena reconocerlos y entender de dónde salen.
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) y \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
Los coeficientes \(1,2,1\) coinciden con la fila \(2\) del triángulo de Pascal.
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\).
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
Los coeficientes \(1,3,3,1\) coinciden con la fila \(3\) del triángulo de Pascal.
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
El triángulo de Pascal ayuda a recordar los coeficientes de los desarrollos de \((a+b)^n\). Cada fila empieza y termina en \(1\), y los números internos se obtienen sumando los dos que están arriba.
Tomamos la fila \(1,2,1\).
Luego bajamos la potencia de \(a\): \(a^2, a^1, a^0\).
Al mismo tiempo subimos la potencia de \(b\): \(b^0, b^1, b^2\).
Resultado: \( (a+b)^2 = \)\(1\)\(a^2\) + \(2\)\(a\)\(b\) + \(1\)\(b^2\).
Tomamos la fila \(1,3,3,1\).
La potencia de \(a\) baja: \(a^3, a^2, a^1, a^0\).
La potencia de \(b\) sube: \(b^0, b^1, b^2, b^3\).
Resultado: \( (a+b)^3 = \)\(1\)\(a^3\) + \(3\)\(a^2\)\(b\) + \(3\)\(a\)\(b^2\) + \(1\)\(b^3\).
Los coeficientes del triángulo de Pascal son los mismos, pero los signos alternan según la potencia de \(-b\).
Ejemplo: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
La pista principal está en la forma. Si ves un binomio elevado al cuadrado, piensa en cuadrado perfecto. Si ves suma por diferencia, piensa en conjugados.
Ejemplo: \((2x+3)^2\) no se desarrolla como \(4x^2+9\), porque falta el término del medio \(2ab\).