Dos ecuaciones, dos incógnitas

1. Las variables deben estar en primer grado

Eso significa que solo pueden aparecer como \(x\), \(y\), \(z\), etc., pero no como \(x^2\), \(xy\), \(\sqrt{x}\) o \(\frac{1}{x}\).

Lineal: \(2x-3y=5\)

No lineal: \(x^2+y=4\), \(xy=6\)

2. Las ecuaciones deben representar rectas

En dos variables, una ecuación lineal representa una recta en el plano.

Por eso un sistema lineal de dos ecuaciones puede interpretarse como la búsqueda del punto donde dos rectas se cruzan.

3. Puede escribirse en la forma general

\[ ax+by=c \]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números, y \(a\) y \(b\) no son ambos cero al mismo tiempo.

Una solución

Ocurre cuando las rectas se cruzan en un solo punto.

En ese caso, el sistema tiene una única solución.

Infinitas soluciones

Ocurre cuando las dos ecuaciones representan exactamente la misma recta.

Entonces cualquier punto de una recta también pertenece a la otra.

Sin solución

Ocurre cuando las rectas son paralelas: tienen la misma dirección, pero nunca se cruzan.

Criterio algebraico rápido

Si dos ecuaciones son proporcionales en sus coeficientes y también en el término independiente, representan la misma recta.

Si son proporcionales en coeficientes, pero no en el término independiente, representan rectas paralelas.

Idea

Se despeja una variable en una ecuación y esa expresión se reemplaza en la otra.

Ejemplo básico

\[ \begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases} \]

Paso 1: despejamos una variable en una de las ecuaciones. De la primera:

\[ x+y=7 \]

\[ x=7-y \]

Paso 2: sustituimos esa expresión en la segunda ecuación:

\[ (7-y)-y=1 \]

Paso 3: reducimos términos semejantes:

\[ 7-2y=1 \]

Paso 4: restamos \(7\) en ambos lados:

\[ -2y=1-7 \]

\[ -2y=-6 \Rightarrow y=3 \]

Paso 5: sustituimos \(y=3\) en \(x=7-y\):

\[ x=7-3=4 \]

Solución: \((4,3)\).

Idea

Se suman o restan ecuaciones para eliminar una incógnita y quedarse con una sola variable.

Ejemplo básico

\[ \begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases} \]

Paso 1: escribimos una debajo de la otra para ver qué término se puede eliminar:

\(x\) + \(y\) \(=7\)
\(x\) \(-y\) \(=1\)

Paso 2: sumamos ambas ecuaciones. Los términos \(y\) y \(-y\) se eliminan porque son opuestos.

\[ (x+y)+(x-y)=7+1 \]

Paso 3: reducimos:

\[ 2x=8 \Rightarrow x=4 \]

Paso 4: sustituimos en \(x+y=7\):

\[ 4+y=7 \Rightarrow y=3 \]

Solución: \((4,3)\).

Ejemplo 1. Fracciones en ambas ecuaciones

\[ \begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4 \\ \frac{x}{4}-\frac{y}{2}= -1 \end{cases} \]

Paso 1: quitamos fracciones multiplicando la primera por \(6\) y la segunda por \(4\):

\[ \begin{cases} 3x+2y=24 \\ x-2y=-4 \end{cases} \]

Paso 2: escribimos el sistema de forma alineada:

\(3x\) + \(2y\) \(=24\)
\(x\) \(-2y\) \(=-4\)

Paso 3: sumamos ambas ecuaciones. Los términos \(2y\) y \(-2y\) se cancelan:

\[ 4x=20 \Rightarrow x=5 \]

Paso 4: sustituimos \(x=5\) en \(x-2y=-4\):

\[ 5-2y=-4 \Rightarrow -2y=-9 \Rightarrow y=\frac{9}{2} \]

Solución: \(\left(5,\frac{9}{2}\right)\).

Ejemplo 2. Coeficientes negativos y fraccionarios

\[ \begin{cases} \frac{2}{3}x-\frac{1}{2}y=1 \\ \frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=2 \end{cases} \]

Paso 1: multiplicamos ambas ecuaciones por \(12\) para eliminar denominadores:

\[ \begin{cases} 8x-6y=12 \\ 4x+3y=24 \end{cases} \]

Paso 2: queremos eliminar \(y\). Multiplicamos la segunda ecuación por \(2\):

\[ 8x+6y=48 \]

Paso 3: ahora sumamos con la primera:

\(8x\) \(-6y\) \(=12\)
\(8x\) + \(6y\) \(=48\)

\[ 16x=60 \Rightarrow x=\frac{15}{4} \]

Paso 4: sustituimos en \(4x+3y=24\):

\[ 15+3y=24 \Rightarrow 3y=9 \Rightarrow y=3 \]

Solución: \(\left(\frac{15}{4},3\right)\).

Ejemplo 3. Más largo, pero soluble

\[ \begin{cases} \frac{x-1}{2}+\frac{y+2}{3}=5 \\ \frac{2x+1}{4}-\frac{y-3}{2}=1 \end{cases} \]

Paso 1: quitamos denominadores.

Primera ecuación, multiplicamos por \(6\):

\[ 3(x-1)+2(y+2)=30 \]

Paso 2: desarrollamos:

\[ 3x+2y=29 \]

Segunda ecuación, multiplicamos por \(4\):

\[ (2x+1)-2(y-3)=4 \]

Paso 3: desarrollamos:

\[ 2x-2y=-3 \]

Paso 4: preparamos la eliminación. Multiplicamos la segunda por \(3\):

\[ 6x-6y=-9 \]

Multiplicamos la primera por \(2\):

\[ 6x+4y=58 \]

Paso 5: restamos para eliminar \(x\):

\(6x\) + \(4y\) \(=58\)
\(6x\) \(-6y\) \(=-9\)

\[ (6x+4y)-(6x-6y)=58-(-9) \]

\[ 10y=67 \Rightarrow y=\frac{67}{10} \]

Paso 6: sustituimos en \(2x-2y=-3\):

\[ 2x-\frac{134}{10}=-3 \]

\[ 2x=\frac{52}{5} \Rightarrow x=\frac{26}{5} \]

Solución: \(\left(\frac{26}{5},\frac{67}{10}\right)\).