Criterios, m.c.m. y m.c.d.

Entre 2

Regla: un número es divisible entre 2 si termina en \(0, 2, 4, 6\) u \(8\).

Ejemplo: \(248\) sí es divisible entre \(2\) porque termina en \(8\).

Entre 3

Regla: un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplo: \(354\) porque \(3+5+4=12\), y \(12\) es múltiplo de \(3\).

Entre 4

Regla: basta revisar las dos últimas cifras; si forman un múltiplo de 4, todo el número también.

Ejemplo: \(516\) sí, porque \(16\) es múltiplo de \(4\).

Entre 5

Regla: un número es divisible entre 5 si termina en \(0\) o \(5\).

Ejemplo: \(1\,235\) sí es divisible entre \(5\).

Entre 6

Regla: un número es divisible entre 6 si al mismo tiempo es divisible entre 2 y entre 3.

Ejemplo: \(114\) sí es divisible entre \(6\) porque termina en \(4\) y \(1+1+4=6\).

Entre 8

Regla: revisa las tres últimas cifras; si forman un múltiplo de 8, el número completo también.

Ejemplo: \(1\,232\) sí, porque \(232\) es múltiplo de \(8\).

Entre 9

Regla: la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 9.

Ejemplo: \(729\) sí, porque \(7+2+9=18\).

Entre 10

Regla: un número es divisible entre 10 si termina en \(0\).

Ejemplo: \(4\,570\) sí es divisible entre \(10\).

m.c.m. - mínimo común múltiplo

Idea: es el menor número positivo que aparece como múltiplo de todos los números dados.

Se usa para: sincronizar ciclos, encontrar denominadores comunes y problemas de coincidencia.

m.c.d. - máximo común divisor

Idea: es el mayor número que divide exactamente a todos los números dados.

Se usa para: simplificar fracciones, repartir en grupos iguales y factorizar.

Ejemplo de m.c.m. con 12 y 18

Múltiplos de 12: \(12, 24, 36, 48, 60, \dots\)

Múltiplos de 18: \(18, 36, 54, 72, \dots\)

Conclusión: el primer múltiplo común es \(36\), entonces \(m.c.m.(12,18)=36\).

Ejemplo de m.c.d. con 12 y 18

Divisores de 12: \(1,2,3,4,6,12\)

Divisores de 18: \(1,2,3,6,9,18\)

Conclusión: el mayor divisor común es \(6\), entonces \(m.c.d.(12,18)=6\).

Paso 1. Descomponer cada número en factores primos

Primero se escribe cada número como producto de números primos. Usamos primos como \(2, 3, 5, 7, 11\) porque son los “bloques básicos” de los números enteros: ya no pueden descomponerse en factores más pequeños, salvo \(1\) y ellos mismos.

Para \(12\): \(12 \div 2 = 6\), luego \(6 \div 2 = 3\), y finalmente \(3 \div 3 = 1\). Entonces \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\).

Para \(18\): \(18 \div 2 = 9\), luego \(9 \div 3 = 3\), y finalmente \(3 \div 3 = 1\). Entonces \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2\).

Paso 2. Escoger los factores para el m.c.d. y el m.c.m.

Ya que los números están descompuestos, observamos qué factores se repiten y cuántas veces aparece cada uno. Por eso usamos exponentes: \(2^2\) significa que el \(2\) aparece dos veces, y \(3^2\) significa que el \(3\) aparece dos veces.

Descomposición comparada: \(12 = 2^2 \cdot 3^1\) y \(18 = 2^1 \cdot 3^2\).

Para el m.c.d. se toman solo los factores comunes y con el menor exponente, porque buscamos lo más grande que todavía pueda dividir a ambos.

Aquí los factores comunes son \(2\) y \(3\). Entre \(2^2\) y \(2^1\), se elige \(2^1\). Entre \(3^1\) y \(3^2\), se elige \(3^1\).

Cálculo del m.c.d.: \(m.c.d.(12,18)=2^1 \cdot 3^1\).

Paso 2. Escoger los factores para el m.c.m.

Para el m.c.m. se toman todos los factores primos que aparecen en cualquiera de los números, pero ahora con el mayor exponente, porque buscamos un número que contenga todo lo necesario para ser múltiplo de ambos.

En este ejemplo aparecen los primos \(2\) y \(3\). Entre \(2^2\) y \(2^1\), se elige \(2^2\). Entre \(3^1\) y \(3^2\), se elige \(3^2\).

Cálculo del m.c.m.: \(m.c.m.(12,18)=2^2 \cdot 3^2\).

Paso 3. Multiplicar

Al final se multiplican los factores elegidos para obtener el valor numérico.

Para el m.c.d.: \(2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6\).

Para el m.c.m.: \(2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\).

Por eso, el resultado final es: \(m.c.d.(12,18)=6\) y \(m.c.m.(12,18)=36\).