Propiedades y simplificación

Producto de potencias de la misma base

Propiedad: al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes.

En mate: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

Por qué es verdad: \(a^2 \cdot a^3 = (a \cdot a)\cdot(a \cdot a \cdot a)=a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a\). Como contamos \(5\) factores iguales a \(a\), el resultado es \(a^5\).

Cociente de potencias de la misma base

Propiedad: al dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes.

En mate: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \; a \neq 0 \)

Por qué es verdad: \( \frac{a^5}{a^2} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a} \). Se simplifican dos factores \(a\) arriba con dos factores \(a\) abajo y quedan \(a \cdot a \cdot a = a^3\).

Potencia de una potencia

Propiedad: al elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.

En mate: \( \left(a^m\right)^n = a^{mn} \)

Por qué es verdad: \( (a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = (a \cdot a)(a \cdot a)(a \cdot a) \). En total hay \(6\) factores iguales a \(a\), por eso queda \(a^6\).

Potencia de un producto

Propiedad: la potencia se distribuye a cada factor del producto.

En mate: \( (ab)^n = a^n b^n \)

Por qué es verdad: \( (ab)^3=(ab)(ab)(ab)=a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b \). Reordenando los factores, queda \(a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b = a^3b^3\).

Potencia de un cociente

Propiedad: la potencia se distribuye al numerador y al denominador.

En mate: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \; b \neq 0 \)

Por qué es verdad: \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot b} = \frac{a^2}{b^2} \). Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.

Exponente cero

Propiedad: toda base distinta de cero elevada a cero vale uno.

En mate: \( a^0 = 1, \; a \neq 0 \)

Por qué es verdad: usando la propiedad del cociente, \( \frac{a^3}{a^3}=a^{3-3}=a^0 \). Pero también sabemos que \( \frac{a^3}{a^3}=1 \), así que \(a^0=1\).

Exponente negativo

Propiedad: un exponente negativo indica el recíproco de la potencia positiva.

En mate: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \; a \neq 0 \)

Por qué es verdad: si \(a^2 \cdot a^{-2}=a^{2+(-2)}=a^0\), entonces \(a^2 \cdot a^{-2}=1\). Eso significa que \(a^{-2}\) debe ser el recíproco de \(a^2\), es decir, \(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\).

Exponente uno

Propiedad: toda base elevada a uno conserva su valor.

En mate: \( a^1 = a \)

Por qué es verdad: elevar a la potencia \(1\) significa que la base aparece una sola vez. Por eso \(a^1=a\).

Relación entre radical y potencia

Propiedad: una raíz puede escribirse como potencia fraccionaria.

En mate: \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)

Por qué es verdad: \(a^{\frac{1}{n}}\) representa el número que, al elevarse a \(n\), devuelve \(a\). Eso es exactamente lo que significa la raíz \(n\)-ésima.

Producto de radicales con el mismo índice

Propiedad: se pueden multiplicar los radicandos dentro de una misma raíz.

En mate: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \)

Por qué es verdad: si escribimos radicales como potencias, \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}=(ab)^{\frac{1}{n}}\). Por eso se pueden juntar dentro de la misma raíz.

Cociente de radicales con el mismo índice

Propiedad: se puede dividir dentro de una sola raíz cuando el índice es el mismo.

En mate: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}, \; b \neq 0 \)

Por qué es verdad: usando potencias fraccionarias, \( \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}} \). Eso equivale a una sola raíz del cociente.

Raíz de una potencia

Propiedad: la raíz y la potencia pueden simplificarse entre sí.

En mate: \( \sqrt[n]{a^n} = a \) en el caso simple de números positivos.

Por qué es verdad: la raíz \(n\)-ésima busca el número que, elevado a \(n\), produce el radicando. Si el radicando ya es \(a^n\), entonces la raíz devuelve \(a\).

Radical de un producto

Propiedad: la raíz de un producto puede separarse en el producto de raíces.

En mate: \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} \)

Por qué es verdad: si \(x=\sqrt[n]{a}\) y \(y=\sqrt[n]{b}\), entonces \(x^n=a\) y \(y^n=b\). Al multiplicar, \((xy)^n = x^n y^n = ab\), así que \(xy=\sqrt[n]{ab}\).

Radical de un cociente

Propiedad: la raíz de una fracción puede separarse en numerador y denominador.

En mate: \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \; b \neq 0 \)

Por qué es verdad: si se puede separar un producto en raíces, también se puede separar un cociente, porque dividir es multiplicar por un recíproco.

Radical de radical

Propiedad: una raíz de otra raíz se puede escribir como una sola raíz.

En mate: \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)

Por qué es verdad: \( \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} \), así que \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}} = \sqrt[mn]{a} \).