Ejercicios resueltos | Trigonometría

Convenciones utilizadas

Se utiliza \(h\) para representar la hipotenusa, \(o\) para el cateto opuesto y \(a\) para el cateto adyacente. Las simplificaciones son válidas en los ángulos donde todas las expresiones originales están definidas. Para construir los triángulos de referencia se considera que \(\theta\) es un ángulo agudo.

sen: opuesto / hipotenusa cos: adyacente / hipotenusa tan: opuesto / adyacente csc, sec y cot: razones recíprocas

Identidades

Simplificación de expresiones

Ejercicios 1–3 y ejercicios adicionales 9–10.

\(\displaystyle \frac{\tan^2\theta\,\sec^2\theta} {\cot^2\theta\,\sen^2\theta}\)

El objetivo es eliminar tangente, secante y cotangente para trabajar únicamente con seno y coseno.

Restricciones: \(\sen\theta\neq0\) y \(\cos\theta\neq0\), porque la expresión contiene cotangente, tangente y secante.

1Sustituir cada función por su identidad de cociente o recíproca.

\[ \frac{ \left(\frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta}\right) \left(\frac{1}{\cos^2\theta}\right)} { \left(\frac{\cos^2\theta}{\sen^2\theta}\right) \sen^2\theta} \]

2Multiplicar los factores del numerador y cancelar \(\sen^2\theta\) en el denominador.

\[ \text{Numerador}=\frac{\sen^2\theta}{\cos^4\theta}, \qquad \text{Denominador}=\cos^2\theta \]

3Dividir entre \(\cos^2\theta\); equivale a multiplicar por \(1/\cos^2\theta\).

\[ \frac{\sen^2\theta/\cos^4\theta}{\cos^2\theta} =\frac{\sen^2\theta}{\cos^6\theta} \]

4Separar el resultado para volver a reconocer tangente y secante.

\[ = \left(\frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta}\right) \left(\frac{1}{\cos^4\theta}\right) =\tan^2\theta\,\sec^4\theta \]

Comprobación: \(\tan^2\theta=\sen^2\theta/\cos^2\theta\) y \(\sec^4\theta=1/\cos^4\theta\); su producto recupera \(\sen^2\theta/\cos^6\theta\).

Resultado: \(\boxed{\tan^2\theta\,\sec^4\theta}\)

\(\displaystyle \frac{\tan^2\theta\,\csc^2\theta} {\cot^2\theta\,\cos^2\theta}\)

Resolveremos numerador y denominador por separado para evitar cancelaciones incorrectas.

Restricciones: \(\sen\theta\neq0\) y \(\cos\theta\neq0\).

1Simplificar el numerador usando \(\tan^2\theta=\sen^2\theta/\cos^2\theta\) y \(\csc^2\theta=1/\sen^2\theta\).

\[ \tan^2\theta\,\csc^2\theta = \frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta} \frac{1}{\sen^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} =\sec^2\theta \]

2Simplificar el denominador sin cancelar factores que pertenecen a fracciones distintas.

\[ \cot^2\theta\,\cos^2\theta = \frac{\cos^2\theta}{\sen^2\theta}\cos^2\theta = \frac{\cos^4\theta}{\sen^2\theta} \]

3Dividir por una fracción multiplicando por su recíproco.

\[ \frac{\sec^2\theta} {\cos^4\theta/\sen^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \frac{\sen^2\theta}{\cos^4\theta} = \frac{\sen^2\theta}{\cos^6\theta} \]

4Reconocer \(\sen^2\theta/\cos^2\theta=\tan^2\theta\) y \(1/\cos^4\theta=\sec^4\theta\).

\[ \frac{\sen^2\theta}{\cos^6\theta} =\tan^2\theta\,\sec^4\theta \]

El resultado coincide con el del ejercicio 1, aunque las expresiones originales sean distintas.

Resultado: \(\boxed{\tan^2\theta\,\sec^4\theta}\)

\(\displaystyle \frac{\tan^2\theta\,\csc^2\theta\,\sec^2\theta} {\cot^2\theta\,\tan^2\theta +\sen^2\theta +\cot^2\theta\,\sen^2\theta}\)

Las tres expresiones separadas por suma pertenecen al denominador. Para evitar confusiones, simplificaremos por separado el numerador \(N\) y el denominador \(D\).

Restricciones: \(\sen\theta\neq0\) y \(\cos\theta\neq0\).

1Identificar claramente numerador y denominador.

\[ N=\tan^2\theta\,\csc^2\theta\,\sec^2\theta \] \[ D=\cot^2\theta\,\tan^2\theta +\sen^2\theta +\cot^2\theta\,\sen^2\theta \]

2Simplificar el numerador. El producto \(\tan^2\theta\,\csc^2\theta\) es \(\sec^2\theta\).

\[ \tan^2\theta\,\csc^2\theta = \frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta} \frac{1}{\sen^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} =\sec^2\theta \] \[ N=\sec^2\theta\,\sec^2\theta=\sec^4\theta \]

3Simplificar el primer producto del denominador.

\[ \cot^2\theta\,\tan^2\theta = \left(\frac{\cos^2\theta}{\sen^2\theta}\right) \left(\frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta}\right)=1 \]

4Simplificar el tercer término del denominador.

\[ \cot^2\theta\,\sen^2\theta = \frac{\cos^2\theta}{\sen^2\theta}\sen^2\theta =\cos^2\theta \]

5Reunir el denominador y aplicar \(\sen^2\theta+\cos^2\theta=1\).

\[ D=1+\sen^2\theta+\cos^2\theta =1+1=2 \]

6Dividir el numerador simplificado entre el denominador simplificado.

\[ \frac{N}{D}=\frac{\sec^4\theta}{2} \]

Comprobación con \(\theta=45^\circ\): el numerador vale \(1\cdot2\cdot2=4\); el denominador vale \(1+\tfrac12+\tfrac12=2\). La fracción vale \(4/2=2\). También \(\sec^4(45^\circ)/2=4/2=2\).

Resultado: \(\boxed{\dfrac{\sec^4\theta}{2}}\)

\(\displaystyle \frac{\sec^2\theta-1}{\csc^2\theta-1}\)

En esta expresión aparecen dos identidades pitagóricas derivadas. Simplificaremos primero cada resta.

Restricciones: \(\sen\theta\neq0\) y \(\cos\theta\neq0\), porque aparecen cosecante y secante.

1Despejar \(\sec^2\theta-1\) de la identidad \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\).

\[ \sec^2\theta-1=\tan^2\theta \]

2Despejar \(\csc^2\theta-1\) de \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\).

\[ \csc^2\theta-1=\cot^2\theta \]

3Sustituir ambas equivalencias.

\[ \frac{\sec^2\theta-1}{\csc^2\theta-1} = \frac{\tan^2\theta}{\cot^2\theta} \]

4Usar \(\cot\theta=1/\tan\theta\).

\[ \frac{\tan^2\theta}{1/\tan^2\theta} = \tan^2\theta\cdot\tan^2\theta = \tan^4\theta \]

Con \(\theta=45^\circ\), el lado original vale \((2-1)/(2-1)=1\), y \(\tan^4 45^\circ=1\).

Resultado: \(\boxed{\tan^4\theta}\)

\(\displaystyle \frac{1-\cos^2\theta}{1-\sen^2\theta} \,\cot^2\theta\)

Las dos restas se transforman usando la identidad fundamental \(\sen^2\theta+\cos^2\theta=1\).

Restricciones: \(\sen\theta\neq0\) por la cotangente y \(\cos\theta\neq0\) porque \(1-\sen^2\theta=\cos^2\theta\) está en el denominador.

1Despejar ambas diferencias.

\[ 1-\cos^2\theta=\sen^2\theta,\qquad 1-\sen^2\theta=\cos^2\theta \]

2Sustituirlas en la expresión.

\[ \frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta} \,\cot^2\theta \]

3Reconocer que el primer cociente es \(\tan^2\theta\).

\[ \tan^2\theta\,\cot^2\theta \]

4Usar que tangente y cotangente son recíprocas.

\[ \tan^2\theta \left(\frac1{\tan^2\theta}\right)=1 \]

Con \(\theta=45^\circ\), la fracción vale \((1-\tfrac12)/(1-\tfrac12)=1\) y \(\cot^2 45^\circ=1\).

Resultado: \(\boxed{1}\)

Razones y triángulos

Obtención de lados y funciones

\(\sec(\pi/3)\) y \(h=10\)

Se conoce el ángulo y la hipotenusa. Buscaremos ambos catetos y todas las razones del triángulo.

1Convertir el ángulo a grados.

\[ \theta=\frac{\pi}{3}\left(\frac{180^\circ}{\pi}\right) =60^\circ \]

2Calcular la secante como recíproco del coseno.

\[ \cos60^\circ=\frac12 \quad\Rightarrow\quad \sec60^\circ=\frac{1}{1/2}=2 \]

3Usar \(\sec\theta=h/a\) para obtener el cateto adyacente.

\[ 2=\frac{10}{a} \quad\Rightarrow\quad 2a=10 \quad\Rightarrow\quad a=5 \]

4Aplicar Pitágoras para obtener el cateto opuesto.

\[ o=\sqrt{h^2-a^2} =\sqrt{10^2-5^2} =\sqrt{75}=5\sqrt3 \]

5Escribir las seis razones.

\[ \sen\theta=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\theta=\frac12,\quad \tan\theta=\sqrt3 \] \[ \csc\theta=\frac{2\sqrt3}{3},\quad \sec\theta=2,\quad \cot\theta=\frac{\sqrt3}{3} \]

Pitágoras: \((5\sqrt3)^2+5^2=75+25=100=10^2\).

Resultado: \(\boxed{\sec\theta=2,\ a=5,\ o=5\sqrt3}\)

\(\tan\theta=2/3\)

La tangente proporciona una proporción, no longitudes únicas. Construimos el triángulo más sencillo que conserva la razón.

1Interpretar la tangente.

\[ \tan\theta=\frac{o}{a}=\frac23 \quad\Rightarrow\quad o=2,\ a=3 \]

2Calcular la hipotenusa con Pitágoras.

\[ h=\sqrt{o^2+a^2} =\sqrt{2^2+3^2} =\sqrt{13} \]

3Calcular el ángulo.

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac23\right) \approx33.69^\circ \]

4Escribir y racionalizar las razones directas.

\[ \sen\theta=\frac{2}{\sqrt{13}} =\frac{2\sqrt{13}}{13},\quad \cos\theta=\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{3\sqrt{13}}{13},\quad \tan\theta=\frac23 \]

5Invertir para obtener las recíprocas.

\[ \csc\theta=\frac{\sqrt{13}}2,\quad \sec\theta=\frac{\sqrt{13}}3,\quad \cot\theta=\frac32 \]

\((2)^2+(3)^2=13=(\sqrt{13})^2\) y \(\sen^2\theta+\cos^2\theta=4/13+9/13=1\).

Triángulo de referencia: \(\boxed{o=2,\ a=3,\ h=\sqrt{13}}\)

\(\csc\theta=7/3\)

La cosecante es el recíproco del seno y compara hipotenusa con cateto opuesto.

1Interpretar la razón dada.

\[ \csc\theta=\frac{h}{o}=\frac73 \quad\Rightarrow\quad h=7,\ o=3 \]

2Calcular el cateto adyacente.

\[ a=\sqrt{h^2-o^2} =\sqrt{7^2-3^2} =\sqrt{40}=2\sqrt{10} \]

3Calcular el ángulo con el seno inverso.

\[ \sen\theta=\frac37 \quad\Rightarrow\quad \theta=\sen^{-1}\left(\frac37\right) \approx25.38^\circ \]

4Obtener las razones directas.

\[ \sen\theta=\frac37,\quad \cos\theta=\frac{2\sqrt{10}}7,\quad \tan\theta=\frac{3}{2\sqrt{10}} =\frac{3\sqrt{10}}{20} \]

5Obtener y racionalizar las recíprocas.

\[ \csc\theta=\frac73,\quad \sec\theta=\frac{7}{2\sqrt{10}} =\frac{7\sqrt{10}}{20},\quad \cot\theta=\frac{2\sqrt{10}}3 \]

\(3^2+(2\sqrt{10})^2=9+40=49=7^2\).

Triángulo de referencia: \(\boxed{o=3,\ a=2\sqrt{10},\ h=7}\)

\(\tan\theta=\dfrac{3\sqrt2}{2}\) y \(h=\sqrt{11}\)

Como conocemos una proporción y una longitud real, introducimos un factor de escala \(k\).

1Representar los catetos con la proporción de la tangente.

\[ \frac{o}{a}=\frac{3\sqrt2}{2} \quad\Rightarrow\quad o=3\sqrt2\,k,\ a=2k \]

2Expresar la hipotenusa mediante Pitágoras.

\[ h=\sqrt{(3\sqrt2\,k)^2+(2k)^2} =\sqrt{18k^2+4k^2} =\sqrt{22}\,k \]

3Igualar con la hipotenusa dada y despejar \(k\).

\[ \sqrt{22}\,k=\sqrt{11} \Rightarrow k=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{22}} =\frac1{\sqrt2} \]

4Sustituir \(k\) en los catetos.

\[ o=3\sqrt2\left(\frac1{\sqrt2}\right)=3,\qquad a=2\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\sqrt2 \]

5Calcular el ángulo y las demás razones.

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right) \approx64.76^\circ \] \[ \sen\theta=\frac{3\sqrt{11}}{11},\quad \cos\theta=\frac{\sqrt{22}}{11},\quad \csc\theta=\frac{\sqrt{11}}3,\quad \sec\theta=\frac{\sqrt{22}}2,\quad \cot\theta=\frac{\sqrt2}{3} \]

\(3^2+(\sqrt2)^2=9+2=11=(\sqrt{11})^2\).

Resultado: \(\boxed{o=3,\ a=\sqrt2,\ h=\sqrt{11}}\)

\(\csc(\pi/6)\) y \(h=15\)

Se conoce un ángulo notable y la hipotenusa; obtendremos los catetos y todas las razones exactas.

1Convertir el ángulo y evaluar la cosecante.

\[ \frac{\pi}{6}=30^\circ,\qquad \csc30^\circ=\frac{1}{\sen30^\circ} =\frac{1}{1/2}=2 \]

2Usar \(\csc\theta=h/o\) para obtener el cateto opuesto.

\[ 2=\frac{15}{o} \Rightarrow 2o=15 \Rightarrow o=\frac{15}{2} \]

3Obtener el cateto adyacente con el coseno.

\[ a=h\cos30^\circ =15\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{15\sqrt3}{2} \]

4Escribir las seis razones exactas.

\[ \sen\theta=\frac12,\quad \cos\theta=\frac{\sqrt3}{2},\quad \tan\theta=\frac{\sqrt3}{3} \] \[ \csc\theta=2,\quad \sec\theta=\frac{2\sqrt3}{3},\quad \cot\theta=\sqrt3 \]

\[ \left(\frac{15}{2}\right)^2+ \left(\frac{15\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac{225}{4}+\frac{675}{4}=225=15^2 \]

Resultado: \(\boxed{\csc\theta=2,\ o=\frac{15}{2},\ a=\frac{15\sqrt3}{2}}\)

\(\sen\theta=5/13\) y \(h=26\)

Método: despeje de seno

Este ejercicio se resuelve despejando el cateto opuesto directamente de la definición del seno.

1Escribir la definición y sustituir los datos.

\[ \sen\theta=\frac{o}{h} \quad\Rightarrow\quad \frac5{13}=\frac{o}{26} \]

2Despejar \(o\) mediante producto cruzado.

\[ 13o=5(26)=130 \quad\Rightarrow\quad o=\frac{130}{13}=10 \]

3Calcular el cateto adyacente con Pitágoras.

\[ a=\sqrt{h^2-o^2} =\sqrt{26^2-10^2} =\sqrt{676-100} =\sqrt{576}=24 \]

4Calcular los dos ángulos agudos.

\[ \theta=\sen^{-1}\left(\frac5{13}\right) \approx22.62^\circ \] \[ \alpha=90^\circ-\theta =90^\circ-22.62^\circ \approx67.38^\circ \]

5Escribir las seis razones de \(\theta\).

\[ \sen\theta=\frac5{13},\quad \cos\theta=\frac{12}{13},\quad \tan\theta=\frac5{12} \] \[ \csc\theta=\frac{13}{5},\quad \sec\theta=\frac{13}{12},\quad \cot\theta=\frac{12}{5} \]

\(10^2+24^2=100+576=676=26^2\) y \(22.62^\circ+67.38^\circ=90^\circ\).

Resultado: \(\boxed{o=10,\ a=24,\ h=26,\ \theta\approx22.62^\circ,\ \alpha\approx67.38^\circ}\)

\(\cos\theta=4/5\) y \(a=14\)

Método: despeje de coseno

Aquí despejaremos la hipotenusa desde la definición del coseno y después encontraremos el lado restante.

1Escribir la definición y sustituir.

\[ \cos\theta=\frac{a}{h} \quad\Rightarrow\quad \frac45=\frac{14}{h} \]

2Despejar la hipotenusa.

\[ 4h=5(14)=70 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{70}{4}=\frac{35}{2}=17.5 \]

3Calcular el cateto opuesto con Pitágoras.

\[ o=\sqrt{\left(\frac{35}{2}\right)^2-14^2} =\sqrt{\frac{1225}{4}-\frac{784}{4}} =\sqrt{\frac{441}{4}} =\frac{21}{2}=10.5 \]

4Calcular ambos ángulos.

\[ \theta=\cos^{-1}\left(\frac45\right) \approx36.87^\circ \] \[ \alpha=90^\circ-36.87^\circ \approx53.13^\circ \]

5Escribir las seis razones.

\[ \sen\theta=\frac35,\quad \cos\theta=\frac45,\quad \tan\theta=\frac34 \] \[ \csc\theta=\frac53,\quad \sec\theta=\frac54,\quad \cot\theta=\frac43 \]

\((21/2)^2+14^2=441/4+784/4=1225/4=(35/2)^2\).

Resultado: \(\boxed{o=10.5,\ a=14,\ h=17.5,\ \theta\approx36.87^\circ,\ \alpha\approx53.13^\circ}\)

\(\tan\theta=\dfrac{2\sqrt3}{3}\) y \(h=\sqrt7\)

Método: despeje directo y sustitución

Como ya conocemos la hipotenusa, podemos despejar directamente un cateto en términos del otro y sustituirlo en el teorema de Pitágoras.

1Despejar el cateto opuesto.

\[ \frac{o}{a}=\frac{2\sqrt3}{3} \]

Multiplicamos ambos lados por \(a\):

\[ o=a\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right) \]

2Sustituir en el teorema de Pitágoras.

\[ h^2=o^2+a^2 \]

Sustituimos \(h=\sqrt7\) y \(o=a\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)\):

\[ (\sqrt7)^2= \left[a\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)\right]^2+a^2 \] \[ 7=a^2\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^2+a^2 \]

3Desarrollar el cuadrado.

\[ \left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^2 =\frac{(2\sqrt3)^2}{3^2} =\frac{4\cdot3}{9} =\frac{12}{9}=\frac43 \] \[ 7=\frac43a^2+a^2 \]

4Sumar términos y despejar \(a\).

\[ a^2=\frac33a^2 \] \[ 7=\frac43a^2+\frac33a^2=\frac73a^2 \] \[ 21=7a^2 \quad\Rightarrow\quad a^2=3 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt3 \]

Elegimos la raíz positiva porque \(a\) representa la longitud de un lado.

5Sustituir \(a\) para encontrar \(o\).

\[ o=\sqrt3\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right) =\frac{2(\sqrt3)(\sqrt3)}3 =\frac{2(3)}3=2 \]

6Calcular los dos ángulos.

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right) \approx49.11^\circ \] \[ \alpha=90^\circ-49.11^\circ \approx40.89^\circ \]

7Escribir las seis razones exactas.

\[ \sen\theta=\frac{2\sqrt7}{7},\quad \cos\theta=\frac{\sqrt{21}}7,\quad \tan\theta=\frac{2\sqrt3}{3} \] \[ \csc\theta=\frac{\sqrt7}{2},\quad \sec\theta=\frac{\sqrt{21}}3,\quad \cot\theta=\frac{\sqrt3}{2} \]

\(2^2+(\sqrt3)^2=4+3=7=(\sqrt7)^2\). Además, \(o/a=2/\sqrt3=2\sqrt3/3\), por lo que se conserva la tangente indicada.

Resultado: \(\boxed{o=2,\ a=\sqrt3,\ h=\sqrt7,\ \theta\approx49.11^\circ,\ \alpha\approx40.89^\circ}\)