Seno
Onda entre −1 y 1; empieza en 0 y repite cada \(2\pi\).
Definiciones fundamentales
¿Qué son seno, coseno y tangente?
No son lados ni ángulos: son relaciones numéricas. Para un ángulo dado comparan dos lados de un triángulo rectángulo. Por eso dos triángulos de diferente tamaño, pero con el mismo ángulo, tienen los mismos valores de seno, coseno y tangente.
sen θ3/5 = 0.60
cos θ4/5 = 0.80
tan θ3/4 = 0.75
¿Qué es el seno?
Mide qué tan grande es la altura del triángulo comparada con la hipotenusa: \(\sin\theta=opuesto/hipotenusa\). En el ejemplo, la altura es 3 de una hipotenusa de 5.
¿Qué es el coseno?
Mide qué tan grande es el avance horizontal comparado con la hipotenusa: \(\cos\theta=adyacente/hipotenusa\). En el ejemplo, el avance es 4 de una hipotenusa de 5.
¿Qué es la tangente?
Mide la inclinación: cuánto se sube por cada unidad que se avanza: \(\tan\theta=opuesto/adyacente\). En el ejemplo se suben 3 unidades al avanzar 4.
¿Cuál debo elegir?
Marca primero θ. Después identifica los lados conocidos: usa seno con opuesto e hipotenusa, coseno con adyacente e hipotenusa, y tangente con los dos catetos.
Las seis funciones directas
Las tres últimas son simplemente las fracciones al revés. Conviene dominar primero seno, coseno y tangente.
| Función | En el triángulo | Relación |
|---|---|---|
| Seno | opuesto / hipotenusa | \(\sin\theta\) |
| Coseno | adyacente / hipotenusa | \(\cos\theta\) |
| Tangente | opuesto / adyacente | \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\) |
| Cotangente | adyacente / opuesto | \(\cot\theta=1/\tan\theta\) |
| Secante | hipotenusa / adyacente | \(\sec\theta=1/\cos\theta\) |
| Cosecante | hipotenusa / opuesto | \(\csc\theta=1/\sin\theta\) |
Conexión con geometría analítica
La tangente también es la pendiente de una recta
Cuando una recta forma un ángulo θ con el eje x, su pendiente es \(m=\tan\theta\). El triángulo que aparece sobre la recta explica la igualdad:
\(m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{cateto\ opuesto}{cateto\ adyacente} =\tan\theta\)
tan(θ)1.000
Pendiente m1.000
Al acercarse a 90°, la recta se vuelve vertical. Δx se acerca a cero, la pendiente crece sin límite y en 90° deja de estar definida. Esa es la razón de la asíntota de la tangente.
Ángulos notables sin calculadora
Círculo unitario y gráficas sincronizadas
Selecciona un ángulo. El punto del círculo tiene coordenadas \((\cos\theta,\sin\theta)\): la proyección horizontal es el coseno y la vertical es el seno. El mismo valor queda señalado en cada gráfica.
45°
Primer cuadrante
sen θ√2/2
cos θ√2/2
tan θ1
Recuerda: \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\). En 90° y 270° el coseno vale cero; no se puede dividir entre cero y la tangente no está definida.
30°: sen pequeño, cos grande.
45°: sen = cos. 60°: sen grande,
cos pequeño. 180° y 270°: el punto cae sobre un
eje. 300°: coseno positivo y seno negativo.
Cocientes entre funciones
¿Cómo resolver expresiones como tan θ / csc θ?
El método más seguro consiste en escribir todas las funciones en términos de seno y coseno, convertir la división en multiplicación y simplificar.
\(\dfrac{\tan\theta}{\csc\theta}\)
\[ \frac{\tan\theta}{\csc\theta} =\frac{\sin\theta/\cos\theta}{1/\sin\theta} =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\sin\theta =\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]
\(\dfrac{\sec\theta}{\csc\theta}\)
\[ \frac{1/\cos\theta}{1/\sin\theta} =\frac{1}{\cos\theta}\cdot\sin\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\tan\theta \]
\(\dfrac{\tan\theta}{\sec\theta}\)
\[ \frac{\sin\theta/\cos\theta}{1/\cos\theta} =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta =\sin\theta \]
\(\dfrac{\cot\theta}{\csc\theta}\)
\[ \frac{\cos\theta/\sin\theta}{1/\sin\theta} =\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\sin\theta =\cos\theta \]
Ejemplo numérico: \(\dfrac{\tan45^\circ}{\csc30^\circ}\)
\[ \tan45^\circ=1,\qquad\csc30^\circ=2 \] \[ \frac{\tan45^\circ}{\csc30^\circ}=\frac{1}{2} \]
Ejemplo numérico: \(\dfrac{\sec60^\circ}{\cot45^\circ}\)
\[ \sec60^\circ=2,\qquad\cot45^\circ=1 \] \[ \frac{\sec60^\circ}{\cot45^\circ}=2 \]
Gráficas directas
Cómo se comporta cada razón
Coseno
La misma onda desplazada; empieza en 1.
Tangente
Crece y se interrumpe cuando el coseno vale 0.
Cotangente
Decrece y no existe cuando el seno vale 0.
Secante
Recíproca del coseno; sus ramas quedan fuera de −1 a 1.
Cosecante
Recíproca del seno; tampoco toma valores entre −1 y 1.
Funciones inversas
La operación inversa encuentra el ángulo
Si conocemos los lados pero no el ángulo, usamos la tecla inversa de la calculadora. Ejemplo: si \(\sin\theta=0.5\), entonces \(\theta=\sin^{-1}(0.5)=30^\circ\).
Arcoseno
Deshace al seno: de una proporción obtiene un ángulo.
Arcocoseno
Deshace al coseno.
Arcotangente
Deshace a la tangente.
Ejemplo resuelto
Una escalera llega a 3 m de altura y su base está a 4 m de la pared. Para hallar el ángulo con el suelo usamos tangente:
\(\tan\theta=3/4=0.75\quad\Rightarrow\quad\theta=\tan^{-1}(0.75)\approx36.9^\circ\)
En la calculadora verifica que el modo sea DEG si quieres la respuesta en grados.
Ejercicios resueltos
10 ejercicios de funciones trigonométricas
Resuelve primero y utiliza el desarrollo para comprobar.