De dónde salen
Todo comienza con Pitágoras
En un círculo de radio 1, el punto del ángulo θ tiene coordenadas \((\cos\theta,\sin\theta)\). El triángulo formado tiene catetos coseno y seno e hipotenusa 1. Al aplicar Pitágoras:
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
No es una fórmula aislada: es el teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo cuya hipotenusa mide 1.
Comprobación gráfica
La suma permanece en 1
Aunque seno y coseno cambien, la gráfica de \(\sin^2x+\cos^2x\) es siempre la línea horizontal \(y=1\).
Listado esencial
Las identidades que sí necesitamos
Recíprocas
\(\csc\theta=1/\sin\theta\)
\(\sec\theta=1/\cos\theta\)
\(\cot\theta=1/\tan\theta\)
Salen directamente de invertir las razones de lados.
De cociente
\(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\)
\(\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta\)
Dividir opuesto/hipotenusa entre adyacente/hipotenusa cancela la hipotenusa.
Pitagóricas
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
\(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\)
\(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\)
Las últimas dos aparecen al dividir la primera entre cos² o sin².
Paridad y simetría
\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)
\(\cos(-\theta)=\cos\theta\)
\(\tan(-\theta)=-\tan\theta\)
Reflejar el ángulo en el círculo cambia la altura, pero no la posición horizontal.
Complementarias
\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)
\(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\)
\(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\)
En un triángulo rectángulo los ángulos agudos suman 90° y cambian los papeles de los catetos.
Ejemplo de uso
Si conocemos \(\sin\theta=3/5\) y el ángulo es agudo, podemos hallar el coseno sin medir otro lado:
\((3/5)^2+\cos^2\theta=1\)
\(9/25+\cos^2\theta=25/25\)
\(\cos^2\theta=16/25\)
\(\cos\theta=4/5\)
Importante: una identidad es verdadera para todos los ángulos donde ambos lados están definidos; una ecuación trigonométrica solo es verdadera para ciertos ángulos.
Ejercicios resueltos
10 ejercicios de identidades trigonométricas
Aplicación directa, verificación y uso de identidades.